Betrachtet man den Verlauf der Funktion

f(x) = tan(t)/2 (1+2 cos(2 t))

im Intervall:

x # [-10.000; 10.000]

so kann die Funktion durch die folgenden Eigenschaften und charakteristischen Punkte beschrieben werden:

a) Ableitungen der Funktion

Zuerst werden alle notwendigen Ableitungen der Funktion gebildet:

> f'(x) = (2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8*tan(t)*sin(2*t)))/(2*(1+2*cos(2*t)))^2

> f''(x) = ((2*(2*tan(t)*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-4*(1+tan(t)^2)*sin(2*t))-(-8*((1+tan(t)^2)*sin(2*t)+2*tan(t)*cos(2*t))))*(2*(1+2*cos(2*t)))^2-(-32*(2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8*tan(t)*sin(2*t)))*(1+2*cos(2*t))*sin(2*t)))/((2*(1+2*cos(2*t)))^2)^2

> f'''(x) = (((2*((2*(1+tan(t)^2)*(1+tan(t)^2)+4*tan(t)*tan(t)*(1+tan(t)^2))*(1+2*cos(2*t))-8*tan(t)*(1+tan(t)^2)*sin(2*t)-(8*tan(t)*(1+tan(t)^2)*sin(2*t)+8*(1+tan(t)^2)*cos(2*t)))-(-8)*(2*tan(t)*(1+tan(t)^2)*sin(2*t)+2*(1+tan(t)^2)*cos(2*t)+2*(1+tan(t)^2)*cos(2*t)-4*tan(t)*sin(2*t)))*(2*(1+2*cos(2*t)))^2-32*(2*(2*tan(t)*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-4*(1+tan(t)^2)*sin(2*t))-(-8)*((1+tan(t)^2)*sin(2*t)+2*tan(t)*cos(2*t)))*(1+2*cos(2*t))*sin(2*t)-((-32*(4*tan(t)*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-8*(1+tan(t)^2)*sin(2*t)-(-8*(1+tan(t)^2)*sin(2*t)+(-16)*tan(t)*cos(2*t)))*(1+2*cos(2*t))-(-128)*(2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8)*tan(t)*sin(2*t))*sin(2*t))*sin(2*t)+(-64)*(2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8)*tan(t)*sin(2*t))*(1+2*cos(2*t))*cos(2*t)))*((2*(1+2*cos(2*t)))^2)^2-(-64*((2*(2*tan(t)*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-4*(1+tan(t)^2)*sin(2*t))-(-8)*((1+tan(t)^2)*sin(2*t)+2*tan(t)*cos(2*t)))*(2*(1+2*cos(2*t)))^2-(-32)*(2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8)*tan(t)*sin(2*t))*(1+2*cos(2*t))*sin(2*t))*(2*(1+2*cos(2*t)))^2*(1+2*cos(2*t))*sin(2*t)))/(((2*(1+2*cos(2*t)))^2)^2)^2

Das Programm kann derzeit leider noch nicht kürzen, was natürlich wünschenswert wäre.

b) Lokale Extrema (Minimum und Maximum)

Um eine geeignete Bedingung zu erhalten betrachten wir den Verlauf der Funktion f(x) und den Verlauf der 1. und 2. Ableitungsfunktion f '(x) und f ''(x)

• Lokales Maximum: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f ''(x) < 0 (hinreichende Bedingung)
• Lokales Minimum: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f ''(x) > 0 (hinreichende Bedingung)

Daraus folgt:

f '(x) = (2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8*tan(t)*sin(2*t)))/(2*(1+2*cos(2*t)))^2

f '(x) = 0

(2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8*tan(t)*sin(2*t)))/(2*(1+2*cos(2*t)))^2 = 0

> Nullstellen: t1=-8.16 | t2=-7.55 | t3=-5.01 | t4=-4.41 | t5=-1.87 | t6=-1.27 | t7=1.27 | t8=1.87 | t9=4.41 | t10=5.01 | t11=7.55 | t12=8.16

Jetzt wird der Wert der Nullstelle der ersten Ableitung (x1) in die zweite Ableitung eingesetzt.

f ''(x) = ((2*(2*tan(t)*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-4*(1+tan(t)^2)*sin(2*t))-(-8*((1+tan(t)^2)*sin(2*t)+2*tan(t)*cos(2*t))))*(2*(1+2*cos(2*t)))^2-(-32*(2*(1+tan(t)^2)*(1+2*cos(2*t))-(-8*tan(t)*sin(2*t)))*(1+2*cos(2*t))*sin(2*t)))/((2*(1+2*cos(2*t)))^2)^2

Keine Lösung, weil keine Nullstellen gefunden! Abbruch der Kurvendiskussion!